SEm/labore/02 interpolation

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(→Sägezahn)
 
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{{TOC right}}
 
{{TOC right}}
  
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= Générateur de fonctions avec calcul d'interpolation =
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= Funktionsgenerator mit Interpolationsberechnung =
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== Introduction ==
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Dans ce laboratoire, nous allons effectuer des opérations sur des nombres. Ceci sera illustré par le clacul de l'interpolation de points de la fonction sinus d'un générateur de fonctions numérique.
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[[Image:SEm_sineGen.png|thumb|Générateur de fonctions avec calcul de sinus par interpolation]]
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== Einleitung ==
  
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Le calcul de l'interpolation se base sur l'approximation de la fonction entre deux points donnés par des fonctions polynomiales du troisième ordre. Cette méthode appartient à la grande famille des "splines".
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In diesem Labor werden wir verschiedene Operationen mit Zahlen durchführen.
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Dies am Beispiel der Interpolation der Punkte der Sinuskurve eines digitales Funktionsgenerator.
  
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Le circuit se trouve dans la librairie '''SineInterpolator''', le banc de test dans la librairie '''SineInterpolator_test'''.
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Die Berechnung der Interpolation basiert auf der Annäherung der Funktion zwischen 2 Punkten mit Polynomialfunktionen dritter Ordnung.
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Diese Methode gehört zur grossen Familie der ''Splines''.
  
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== Table de sinus ==
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Die Schaltung befindet sich in der Library '''SineInterpolator''', die Testbank in der Library '''SineInterpolator_test'''.
  
−
L'interpolation se fera à partir d'une table contenant 8 valeurs de sinus pour un quart de sa période. Pour fonctionner sur toute la période, le signal en dents de scie provenant du compteur et considéré comme phase du sinus est utilisé comme suit:
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[[Image:SEm_sineGen.png|center|Funktionsgenerator mit Berechnung des Sinus durch Interpolation]]
  
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* Le bit de poids fort signale le changement de signe des valeurs du sinus.
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== Sägezahn ==
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* Le bit suivant signale un changement à apporter à la phase pour lire la table dans le sens inverse, ceci pour les deuxième et quatrième quarts de la période.
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−
* Les 3 bits suivants ('''tableAddressBitNb = 3''') sont utilisés pour adresser les valeurs de la table.
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* Les autres bits sont ignorés.
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[[Image:SEm_sineTable.png|thumb|Table de sinus]]
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In dieser Schaltung ist die Anzahl Bits der Phase nicht gleich derjenigen der Funktionsgenerator-Ausgänge.
  
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=== Code VHDL ===
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Wenn Ihr die Basisausgänge ''Sägezahn'', ''Viereck'' und ''Dreieck'' erstellt, ändert der Block '''resizer''' die Anzahl Bits des Phasensignals und passt es den Ausgängssignalen an. Dabei gibt es drei Fälle zu beachten:
  
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Ecrire l'architecture VHDL du générateur de sinus.
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* Die Anzahl Bits der Ausgänge ist kleiner als die des Phasensignals: in diesem Fall werden die MSBs behalten.
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* Die Anzahl Bits der Ausgänge ist gleich wie die des Phasensignals: in diesem Fall werden alle Bits übertragen.
 +
* Die Anzahl Bits der Ausgänge ist grösser als die des Phasensignals: in diesem Fall wird die MSBs des Phasensignals ins Sägezahnsignal gelegt.
  
−
L'adresse de la table de sinus est tirée des 3 bits suivant les 2 bits de poids fort de la phase. Elle effectue la séquence 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ....
+
=== VHDL Code ===
  
−
La table de sinus contient les valeurs hexadécimales 0000 ou 7FFF (selon la valeur du deuxième bit de poids fort), 18F9, 30FB, 471C, 5A82, 6A6D, 7641 et 7D89.
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{{TaskBox|content=
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Mit Hilfe des Konstruktes '''if ... generate''', schreiben Sie den VHDL Code des '''resizer'''-Blocks.}}
  
−
Lorsque le bit de poids fort de la phase vaut '1', la valeur lue de la table change de signe pour donner la sortie.
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=== Simulation ===
 +
 
 +
{{TaskBox|content=
 +
Kompilieren und simulieren Sie den Block '''sineGen_tb'''.
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Ändern Sie die Anzahl Bits des Phasensignals und überprüfen Sie die Anpassung der Anzahl Bits in jedem möglichen Operationsfall.}}
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== Sinustabelle ==
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[[Image:SEm_sineTable.png|thumb|Sinustabelle]]
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Die Interpolation wird durchgeführt abhand einer Tabelle, welche 8 Werte der Sinusfunktion im ersten Viertel der Periode enthält. Um die Werte für die ganze Periode
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anzuwenden, wird das Sägezahnsignal des Phasenzählers wie folgt angewandt:
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* Der MSB gibt an, ob das Vorzeichen zu ändern ist.
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* Der nächste Bit meldet, dass die Phase geändert sein soll, um die Tabelle in der umgekehrten Richtung zu lesen, dies für den zweiten und den vierten Viertel der Periode.
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* Die 3 weitere Bits ('''tableAddressBitNb = 3''') sind als Adresse für das Lesen der Tabellenwerte angewandt.
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* Alle andere Bits werden vernachlässigt.
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=== VHDL Code ===
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{{TaskBox|content=
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Schreiben Sie die VHDL Architektur des Sinuswellengenerators.}}
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Die Adresse der tabelle stammt aus den 3 Bits nach den 2 MSBs. Sie zählt die Sequenz 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ....
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Die Sinustabelle enthält die Hexadezimalwerte 0000 oder 7FFF (abhängig vom zweithöchstwertigsten Bit), 18F9, 30FB, 471C, 5A82, 6A6D, 7641 und 7D89.
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 +
Wenn das MSB der Phase gleich '1' ist, so wird das Vorzeichen des Tabellenwertes invertiert, um den Ausgang zu erzeugen.
  
 
=== Simulation ===
 
=== Simulation ===
  
−
Compiler et simuler le bloc '''sineGen_tb'''. Vérifier le bon fonctionnement du générateur de sinus.
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{{TaskBox|content=
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Kompilieren Sie und simulieren Sie den Block '''sineGen_tb'''. Prüfen Sie die Funktionalität des Sinuswellensignalgenerators.}}
  
 
== Interpolation ==
 
== Interpolation ==
  
−
L'interpolation se fait en associant une fonction polynomiale d'ordre 3 entre chaque point de la table de sinus:
+
Die Interpolation wird gemacht, indem man eine verschiedene Polynomialfunktion 3. Ordnung zu jedem Intervall zwischen zwei Punkte der Sinustabelle zuweist:
  
−
''' y = a·k^3 + b·k^2 + c·k +d'''
+
''' y = a·k<sup>3</sup> + b·k<sup>2</sup> + c·k +d '''
  
−
Au cours du calcul, le point courant de la table de sinus est défini en '''k = 0''', le point précédent en '''k = -1''' et le point suivant en '''k = 1'''. Nous calculerons la valeur du polynome pour '''n = 2^m''' points situés entre 0 et 1.
+
Während dieser Berechnung wird der jeweilige Punkt der Tabelle mit '''k = 0''' definiert, der vorige Punkt mit '''k = -1''' und der nächste mit '''k = 1''' definiert. Wir werden die Polynomialfunktion für '''n = 2<sup>m</sup>''' Punkte zwischen 0 und 1 berechnen.
  
−
Pour assurer la continuité entre le polynôme qui relie le segment '''-1 < k < 0''' et celui qui relie '''0 < k < 1''', nous spécifons la dérivée au point '''y(k=0)''' comme étant égale à la pente entre les points '''y(k=-1)''' et '''y(k=1)'''. Nous ferons de même pour tous les points de la fonction à interpoler.
+
Um die Kontinuität der Kurve beim Übergang vom Polynom des Segments '''-1 < k < 0''' und dem von '''0 < k < 1''', spezifieren wir, dass die derivative am Punkt '''y(k=0)''' gleich der Steigung zwischen den Punkten '''y(k=-1)''' und '''y(k=1)'''sein soll. Wir werden dasselbe für alle Punkte der zu interpolierenden Funktion machen.
  
−
Le segment '''0 < k < 1''' est donc soumis aux 4 conditions suivantes
+
Das Segment '''0 < k < 1''' dient somit den 4 folgenden Bedingungen:
  
−
''' y(k=0) = y0''': le polynôme passe par le point '''(k=0, y=y0)''',
+
''' y(k=0) = y0''': das Polynom geht durch den Punkt '''(k=0, y=y0)''',
  
−
''' y(k=1) = y1''': le polynôme passe par le point '''(k=1, y=y1)''',
+
''' y(k=1) = y1''': das Polynom geht durch den Punkt '''(k=1, y=y1)''',
  
−
''' y'(k=0) = [y(k=1) - y(k=-1)] / 2''': la dérivée au point '''(k=0)''' est la pente entre '''y(k=-1)''' et '''y(k=1)''',
+
''' y'(k=0) = [y(k=1) - y(k=-1)] / 2''': die Ableitung am Punkt '''(k=0)''' ist die Steigung zwischen '''y(k=-1)''' und '''y(k=1)''',
  
−
''' y'(k=1) = [y(k=2) - y(k=0)] / 2''': la dérivée au point '''(k=1)''' est la pente entre '''y(k=0)''' et '''y(k=2)'''.
+
''' y'(k=1) = [y(k=2) - y(k=0)] / 2''': die Ableitung am Punkt '''(k=1)''' ist die Steigung zwischen '''y(k=0)''' und '''y(k=2)'''.
  
−
Ces 4 conditions nous servent à déterminer les 4 coefficients '''a''', '''b''', '''c''' et '''d''' du ploynôme à partir des 4 points '''y(k=-1)''' à '''y(k=2)''' de la courbe à interpoler. La résolution de ce système d'équations nous donne les valeurs suivantes des coefficients:
+
Diese 4 Bedingungen dienen zur Bestimmung der 4 Koeffizienten '''a''', '''b''', '''c''' und '''d''' des Polynoms anhand der 4 Punkte '''y(k=-1)''' bis '''y(k=2)''' der zu interpolierenden
 +
Kurve. Die Auflösung dieses Gleichungssystems gibt uns die folgenden Werte der Koeffizienten:
  
 
''' a = 1/2 [ - y(k=-1) +3·y(k=0) -3·y(k=1) + y(k=2) ]'''
 
''' a = 1/2 [ - y(k=-1) +3·y(k=0) -3·y(k=1) + y(k=2) ]'''
Line 66: Line 95:
 
''' d = y(k=0)'''
 
''' d = y(k=0)'''
  
−
Par souci de simplification, nous calculerons le double de la valeur des coefficients et par la suite nous diviserons la valeur du polynome calculé par 2.
+
Um die Berechnungen zu vereinfachen werden wir den doppelten Wert der Koeffizienten evaluieren und später die berechnete Werte des Polynoms durch 2 teilen.
  
−
A chaque nouvelle valeur du signal d'origine (ici, de la table de sinus), il faut recalculer les coefficients du polynôme. Puis, à chaque période d'horloge et en attendant l'arrivée de la valeur suivante, on calcule la fonction polynomiale pour déterminer la valeur courante de l'échantillon de sortie.
+
Beim Auftreten jedes neuen Werts des ursprünglichen Signals (hier die Sinustabelle), müssen die Polynomkoeffiziente neu berechnet werden. Dann, in der Zwischenzeit, wird die Polynomilafunktion berechnet, um den jeweilgen Wert des Ausgangssignal zu bestimmen.
  
−
=== Générateur d'impulsions de séquencement ===
+
=== Generator von Sequenzierungsimpulsen ===
  
−
Ecrire l'architecture VHDL du générateur d'impulsions de séquencement.
+
[[Image:SEm_interpolatorTrigger.png|thumb|Genrator von Sequenzierungsimpulsen]]
  
−
[[Image:SEm_interpolatorTrigger.png|thumb|Générateurs d'impulsions de séquencement]]
+
{{TaskBox|content=
 +
Schreiben Sie die VHDL Architektur des Generators von Sequenzierungsimpulsen.}}
  
−
Ce circuit fournit une impulsion qui dure une période d'horloge à chaque changement de polynôme, c'est-à-dire pour chaque nouveau segment de courbe.
+
Diese Schaltung ermittelt einen Impuls mit der Dauer einer Taktperiode bei jedem Polynomwechsel, das heisst zu jedem neuen Kurvensegment.
  
−
Ceci se fait chaque '''2^n''' périodes d'horloge où '''en = '1'''', avec '''n = sampleCountBitNb = phaseBitNb-2-tableAddressBitNb'''. Dans notre exemple de laboratoire, '''phaseBitNb = 10''' et '''sampleCountBitNb = 5'''.
+
Dies erfolgt zu jeden '''2<sup>n</sup>''' Taktperioden wo '''en = '1'''', wobei '''n = sampleCountBitNb = phaseBitNb-2-tableAddressBitNb'''. In unserem Laborbeispiel sind '''phaseBitNb = 10''' und '''sampleCountBitNb = 5'''.
  
−
=== Registre à décalage ===
+
=== Schieberegister ===
  
−
Ecrire l'architecture VHDL du registre à décalage qui mémorise les 4 derniers points de la fonction à interpoler.
+
[[Image:SEm_interpolatorShiftRegister.png|thumb|Schieberegister]]
  
−
[[Image:SEm_interpolatorShiftRegister.png|thumb|Registre à décalage]]
+
{{TaskBox|content=
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Schreiben Sie die VHDL Architektur des Schieberegisters, welcher die 4 letzten Punkte der zu interpolendierenden Funktion speichert.}}
  
−
A chaque impulsion de synchronisation '''shiftSamples''', le circuit mémorise le nouvel échantillon de la fonction à interpoler, '''sampleIn''', et le mémorise comme dernière valeur d'échantillon, '''sample4'''. En même temps, il décale l'échantillon '''sample4''' dans '''sample3''', etc...
+
Bei jedem Synchronisationsimplus '''shiftSamples''' speichert dis Schaltung den neuen Wert der zu interpolendierenden Funktion, '''sampleIn''', und speichert es als letzes Abtastwert, '''sample4'''. Zugleich schiebt er den gespeicherten Wert von '''sample4''' zurück in '''sample3''', usw...
  
−
=== Calcul des coefficients ===
+
{{WarningBox|content=Verwenden Sie ein Array von Zahlen, um den Shieberegister zu beschreiben.}}
  
−
Ecrire l'architecture VHDL du bloc qui calcule les coefficients du polynôme en fonction de la valeur des 4 derniers points de la fonction à interpoler.
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=== Berechnung der Koeffizienten ===
  
−
[[Image:SEm_interpolatorCoefficients.png|thumb|Bloc de calcul des coefficients pour l'interpolation]]
+
[[Image:SEm_interpolatorCoefficients.png|thumb|Block zur Berechnung der Koeffizienten für die Interpolation]]
  
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Les coefficients se calculent comme suit:
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{{TaskBox|content=
 +
Öffnen Sie die Library '''ieee.numeric_std''' und durchsuchen Sie die Auswirkung der Multiplikation eines Signals von Typ '''signed''' durch eine ganze Zahl. Prüfen Sie ebenfalls das Funktionieren der Funktion '''resize'''. Sie ist hier sehr nützlich, um die Anzahl der Bits der Signale zu bestimmen.}}
 +
 
 +
Die Koeffizienten werden wie folgt berechnet:
  
 
''' a = - sample1 +3·sample2 -3·sample3 + sample4'''
 
''' a = - sample1 +3·sample2 -3·sample3 + sample4'''
Line 104: Line 138:
 
''' d = sample2'''
 
''' d = sample2'''
  
−
Expliquer le choix effectué '''coeffBitNb := signalBitNb+4'''.
+
{{TaskBox|content=
 +
Schreiben Sie die VHDL Architektur des Blocks, welcher die Koeffizienten des Polynoms als Funktion der 4 letzten Punkten der zu interpolendierenden Funktion berechnet.}}
  
−
Parcourir la librairie '''ieee.numeric_std''' et vérifier l'effet de la multiplication d'un signal de type '''signed''' par un nombre entier. Vérifier également le fonctionnement de la fonction '''resize'''. Elle est très utile ici pour forcer le nombre de bits des signaux.
+
[[File:SEm_sinegen_coeffs.svg|thumb|Interpolationskoeffizienten]]
 +
Die von Ihnen berechneten Koeffizienten können mit der [[Media:SEm_sinegen_coeffs.svg|nebenstehenden Waveform]] überprüft werden.
  
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=== Calcul du polynôme ===
+
{{TaskBox|content=
 +
Erklären Sie die getroffene Wahl im Schema '''coeffBitNb := signalBitNb+4'''.}}
  
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Ecrire l'architecture VHDL du bloc qui calcule la valeur du polynôme d'interpolation de fonction à chaque nouvelle période d'horloge.
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=== Berechnung des Polynoms ===
  
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[[Image:SEm_interpolatorPolynom.png|thumb|Bloc de calcul de l'interpolation]]
+
[[Image:SEm_interpolatorPolynom.png|thumb|Block zur Berechnung der Interpolation]]
  
−
Le polynôme se calcule de manière itérative.
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{{TaskBox|content=
 +
Schreiben Sie die VHDL Architektur des Blocks, welcher den Wert des Interpolationspolynom bei jeder neuen Taktperiode berechnet.}}
  
−
Ainsi, pour une fonction de premier ordre, '''y(x) = a·x + b''', la valeur suivante vaut ''y(x+eps) = y(x) + a·eps''''''. Ceci se calcule en initialisant '''u = a·eps''', '''y(0) = b''', et en calculant '''y(i+1) = y(i) + u''' à chaque nouvelle période d'horloge.
+
Das Polynom wird iterativ berechnet.
  
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Pour une fonction de deuxième ordre, '''y(x) = a·x^2 + b·x + c''', ce qui donne '''y(x+eps) = y(x) + u(x)''', avec '''u(x) = 2·a·eps·x + (a·eps^2 + b·eps)'''. L'incrément '''u(x)''' se calcule de la manière définie pour une fonction du premier ordre. Ceci se calcule donc en initialisant '''v = 2·a·eps^2''', '''u(0) = a·eps^2 + b·eps''','''y(0) = c''' et en calculant '''y(i+1) = y(i) + u(i)''' et '''u(i+1) = u(i) + v''' à chaque nouvelle période d'horloge.
+
Als Beispiel, für eine Funktion 1. Ordnung, '''y(x) = a·x + b''', ist der nächste Wert gleich '''y(x+eps) = y(x) + a·eps'''. Die berechnet sich, indem anfangs '''u = a·eps''', '''y(0) = b''' initialisiert wird, und indem '''y(i+1) = y(i) + u''' bei jeder Taktperiode neu berchenet wird.
  
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Le calcul de la fonction de troisième ordre se fait de manière similaire.
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Für eine Funktion 2. Ordnung, '''y(x) = a·x<sup>2</sup> + b·x + c''', ergibt sich '''y(x+eps) = y(x) + u(x)''', mit '''u(x) = 2·a·eps·x + (a·eps<sup>2</sup> + b·eps)'''. Der Zusatz '''u(x)''' berechnet sich mit der Methode, welche für eine Funktion 1. Ordnung vorgegeben wurde. Dies berechnet sich also mit '''v = 2·a·eps<sup>2</sup>''', '''u(0) = a·eps<sup>2</sup> + b·eps''', '''y(0) = c''' bei der Initialisation und mit '''y(i+1) = y(i) + u(i)''' und '''u(i+1) = u(i) + v''' bei jeder neuen Taktperiode.
  
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Pour le calcul numérique, '''eps''' est choisi comme égal à une puissance négative de 2, ce qui permet de la calculer par un décalage. De même, pour rester avec des nombres entiers, on calculera la fonction '''y(i)''' multipliée par une puissance de 2 et un décalage terminal nous donnera la valeur finale des échantillons du polynôme.
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Die Berechnung der Funktion dritter Ordnung erfolgt ähnlich.
  
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Notre algorithme est donc le suivant:
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Für die digitale Berechnung wird '''eps''' als gleich einer negativen Potenz von 2 gewählt, was es erlaubt, Werte durch eine Verschiebung zu berechnen. Ebenso, um mit ganzen Zahlen zu verbleiben, wird man die Funktion '''y(i)''' mit einer Potenz von 2 multipliziert berechnen, und eine Abschlussverschiebung wird uns den Abtastwert des Polynoms geben.
  
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* A l'arrivée d'un nouvel échantillon, il faut calculer les valeurs initiales utilisée pour développer le polynôme de manière itérative.
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Somit ist unser Algorithmus der folgende:
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* Entre deux échantillons d'entrée, le calcul de la fonction polynomiale se fait par additions à l'aide des équations itératives.
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Les valeurs initiales sont les suivantes:
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* Bei der Ankunft eines neuen Abtastwertes werden die Initialwerte zur iterativen Bestimmung des Polynoms berechnet.
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* Zwischen zwei Abtastwerte wird die Berechnung der Polynomialfunktion mit Hilfe von Additionen durchgeführt, abhand der iterativen Gleichungen.
  
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''' x = 2·d·2^(3·m)'''
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Die Initialwerte sind die folgende:
  
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''' u = a + b·2^m + c·2^(2·m)'''
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''' x = 2·d·2<sup>(3·m)</sup>'''
  
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''' v = 6·a + 2·b·2^m'''
+
''' u = a + b·2<sup>m</sup> + c·2<sup>(2·m)</sup>'''
 +
 
 +
''' v = 6·a + 2·b·2<sup>m</sup>'''
  
 
''' w = 6·a'''
 
''' w = 6·a'''
Line 141: Line 181:
 
''' y = d'''
 
''' y = d'''
  
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Le calcul itératif du polynôme se fait comme suit:
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Die Iterativberechnung des Polynoms wird wie folgt durchgeführt:
  
 
''' x = x + u'''
 
''' x = x + u'''
Line 149: Line 189:
 
''' v = v + w'''
 
''' v = v + w'''
  
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''' y = x / 2·2^(3·m)'''
+
''' y = x / (2·2<sup>(3·m)</sup>)'''
  
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Il est évident que, du fait des décalages '''2^m''', le nombre de bits des signaux internes devra être plus élevé que le nombre de bits des échantillons d'entrée ou de sortie. En fonction de la valeur du décalage '''m = oversamplingBitNb''', estimer la taille nécessaire pour ces signaux. Les décalrer avec 8 bits supplémentaires pour s'assurer de ne pas avoir de dépassement de capacité.
+
Es ist offensichtlich, dass, wegen der Verschiebungen '''2<sup>m</sup>''', die Anzahl der Bits der internen Signale höher sein muss als die Anzahl der Bits der Eingangs- oder Ausgangswerte. Schätzen Sie die notwendige Grösse für diese Signale als Funktion der Verschiebung '''m = oversamplingBitNb'''. Geben Sie diesen Signalen 8 zusätzliche Bits, um sicherzustellen, dass kein Overflow auftreten wird.
  
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A nouveau, la fonction '''resize'''sera très utile ici.
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Wiederum wird die Funktion '''resize''' hier von grossem Nutzen sein.
  
 
=== Simulation ===
 
=== Simulation ===
  
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Recompiler et simuler le bloc '''sineGen_tb'''. Vérifier la forme du signal sinusoïdal après interpolation.
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{{TaskBox|content=
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Kompilieren Sie und simulieren Sie den Block '''sineGen_tb''' neu. Prüfen Sie die Form des Sinuswelle nach Interpolation.}}
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Réduire le nombre de bits des signaux du circuit là où cela est possible.
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{{TaskBox|content=
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Verkleinern Sie die Anzahl Bits der Signale in der Schaltung überall, wo es möglich ist, unter Beibehaltung der selben Sinuswelle nach Interpolation.}}
  
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{{navNamed|left=SEm/laboratoires/01_generateur|left_name=01 Generateur|up=SEm/laboratoires|up_name=Instructions en français|right=SEm/laboratoires/03_convertisseur|right_name=03 Convertisseur numérique / analogique}}
+
{{navNamed|left=SEm/labore/01_generator|left_name=01 Funktionsgenerator|up=SEm/labore|up_name=Anleitung auf Deutsch|right=SEm/labore/03_konverter|right_name=03 Digital / Analog Wandler}}
  
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[[Category:SEm]]
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[[Category:Bachelor]][[Category:SEm]][[Category:Deutsch]]

Latest revision as of 14:37, 8 February 2021

Contents

Funktionsgenerator mit Interpolationsberechnung

Einleitung

In diesem Labor werden wir verschiedene Operationen mit Zahlen durchführen. Dies am Beispiel der Interpolation der Punkte der Sinuskurve eines digitales Funktionsgenerator.

Die Berechnung der Interpolation basiert auf der Annäherung der Funktion zwischen 2 Punkten mit Polynomialfunktionen dritter Ordnung. Diese Methode gehört zur grossen Familie der Splines.

Die Schaltung befindet sich in der Library SineInterpolator, die Testbank in der Library SineInterpolator_test.

Funktionsgenerator mit Berechnung des Sinus durch Interpolation

Sägezahn

In dieser Schaltung ist die Anzahl Bits der Phase nicht gleich derjenigen der Funktionsgenerator-Ausgänge.

Wenn Ihr die Basisausgänge Sägezahn, Viereck und Dreieck erstellt, ändert der Block resizer die Anzahl Bits des Phasensignals und passt es den Ausgängssignalen an. Dabei gibt es drei Fälle zu beachten:

  • Die Anzahl Bits der Ausgänge ist kleiner als die des Phasensignals: in diesem Fall werden die MSBs behalten.
  • Die Anzahl Bits der Ausgänge ist gleich wie die des Phasensignals: in diesem Fall werden alle Bits übertragen.
  • Die Anzahl Bits der Ausgänge ist grösser als die des Phasensignals: in diesem Fall wird die MSBs des Phasensignals ins Sägezahnsignal gelegt.

VHDL Code

View-pim-tasks.png

Mit Hilfe des Konstruktes if ... generate, schreiben Sie den VHDL Code des resizer-Blocks.

Simulation

View-pim-tasks.png

Kompilieren und simulieren Sie den Block sineGen_tb. Ändern Sie die Anzahl Bits des Phasensignals und überprüfen Sie die Anpassung der Anzahl Bits in jedem möglichen Operationsfall.

Sinustabelle

Sinustabelle

Die Interpolation wird durchgeführt abhand einer Tabelle, welche 8 Werte der Sinusfunktion im ersten Viertel der Periode enthält. Um die Werte für die ganze Periode anzuwenden, wird das Sägezahnsignal des Phasenzählers wie folgt angewandt:

  • Der MSB gibt an, ob das Vorzeichen zu ändern ist.
  • Der nächste Bit meldet, dass die Phase geändert sein soll, um die Tabelle in der umgekehrten Richtung zu lesen, dies für den zweiten und den vierten Viertel der Periode.
  • Die 3 weitere Bits (tableAddressBitNb = 3) sind als Adresse für das Lesen der Tabellenwerte angewandt.
  • Alle andere Bits werden vernachlässigt.

VHDL Code

View-pim-tasks.png

Schreiben Sie die VHDL Architektur des Sinuswellengenerators.

Die Adresse der tabelle stammt aus den 3 Bits nach den 2 MSBs. Sie zählt die Sequenz 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ....

Die Sinustabelle enthält die Hexadezimalwerte 0000 oder 7FFF (abhängig vom zweithöchstwertigsten Bit), 18F9, 30FB, 471C, 5A82, 6A6D, 7641 und 7D89.

Wenn das MSB der Phase gleich '1' ist, so wird das Vorzeichen des Tabellenwertes invertiert, um den Ausgang zu erzeugen.

Simulation

View-pim-tasks.png

Kompilieren Sie und simulieren Sie den Block sineGen_tb. Prüfen Sie die Funktionalität des Sinuswellensignalgenerators.

Interpolation

Die Interpolation wird gemacht, indem man eine verschiedene Polynomialfunktion 3. Ordnung zu jedem Intervall zwischen zwei Punkte der Sinustabelle zuweist:

y = a·k3 + b·k2 + c·k +d

Während dieser Berechnung wird der jeweilige Punkt der Tabelle mit k = 0 definiert, der vorige Punkt mit k = -1 und der nächste mit k = 1 definiert. Wir werden die Polynomialfunktion für n = 2m Punkte zwischen 0 und 1 berechnen.

Um die Kontinuität der Kurve beim Übergang vom Polynom des Segments -1 < k < 0 und dem von 0 < k < 1, spezifieren wir, dass die derivative am Punkt y(k=0) gleich der Steigung zwischen den Punkten y(k=-1) und y(k=1)sein soll. Wir werden dasselbe für alle Punkte der zu interpolierenden Funktion machen.

Das Segment 0 < k < 1 dient somit den 4 folgenden Bedingungen:

y(k=0) = y0: das Polynom geht durch den Punkt (k=0, y=y0),

y(k=1) = y1: das Polynom geht durch den Punkt (k=1, y=y1),

y'(k=0) = [y(k=1) - y(k=-1)] / 2: die Ableitung am Punkt (k=0) ist die Steigung zwischen y(k=-1) und y(k=1),

y'(k=1) = [y(k=2) - y(k=0)] / 2: die Ableitung am Punkt (k=1) ist die Steigung zwischen y(k=0) und y(k=2).

Diese 4 Bedingungen dienen zur Bestimmung der 4 Koeffizienten a, b, c und d des Polynoms anhand der 4 Punkte y(k=-1) bis y(k=2) der zu interpolierenden Kurve. Die Auflösung dieses Gleichungssystems gibt uns die folgenden Werte der Koeffizienten:

a = 1/2 [ - y(k=-1) +3·y(k=0) -3·y(k=1) + y(k=2) ]

b = 1/2 [ 2·y(k=-1) -5·y(k=0) +4·y(k=1) - y(k=2) ]

c = 1/2 [ - y(k=-1) + y(k=1) ]

d = y(k=0)

Um die Berechnungen zu vereinfachen werden wir den doppelten Wert der Koeffizienten evaluieren und später die berechnete Werte des Polynoms durch 2 teilen.

Beim Auftreten jedes neuen Werts des ursprünglichen Signals (hier die Sinustabelle), müssen die Polynomkoeffiziente neu berechnet werden. Dann, in der Zwischenzeit, wird die Polynomilafunktion berechnet, um den jeweilgen Wert des Ausgangssignal zu bestimmen.

Generator von Sequenzierungsimpulsen

Genrator von Sequenzierungsimpulsen


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Schreiben Sie die VHDL Architektur des Generators von Sequenzierungsimpulsen.

Diese Schaltung ermittelt einen Impuls mit der Dauer einer Taktperiode bei jedem Polynomwechsel, das heisst zu jedem neuen Kurvensegment.

Dies erfolgt zu jeden 2n Taktperioden wo en = '1', wobei n = sampleCountBitNb = phaseBitNb-2-tableAddressBitNb. In unserem Laborbeispiel sind phaseBitNb = 10 und sampleCountBitNb = 5.

Schieberegister

Schieberegister


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Schreiben Sie die VHDL Architektur des Schieberegisters, welcher die 4 letzten Punkte der zu interpolendierenden Funktion speichert.

Bei jedem Synchronisationsimplus shiftSamples speichert dis Schaltung den neuen Wert der zu interpolendierenden Funktion, sampleIn, und speichert es als letzes Abtastwert, sample4. Zugleich schiebt er den gespeicherten Wert von sample4 zurück in sample3, usw...

Dialog-warning.png

Verwenden Sie ein Array von Zahlen, um den Shieberegister zu beschreiben.

Berechnung der Koeffizienten

Block zur Berechnung der Koeffizienten für die Interpolation


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Öffnen Sie die Library ieee.numeric_std und durchsuchen Sie die Auswirkung der Multiplikation eines Signals von Typ signed durch eine ganze Zahl. Prüfen Sie ebenfalls das Funktionieren der Funktion resize. Sie ist hier sehr nützlich, um die Anzahl der Bits der Signale zu bestimmen.

Die Koeffizienten werden wie folgt berechnet:

a = - sample1 +3·sample2 -3·sample3 + sample4

b = 2·sample1 -5·sample2 +4·sample3 - sample4

c = - sample1 + sample3

d = sample2


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Schreiben Sie die VHDL Architektur des Blocks, welcher die Koeffizienten des Polynoms als Funktion der 4 letzten Punkten der zu interpolendierenden Funktion berechnet.

Interpolationskoeffizienten

Die von Ihnen berechneten Koeffizienten können mit der nebenstehenden Waveform überprüft werden.


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Erklären Sie die getroffene Wahl im Schema coeffBitNb := signalBitNb+4.

Berechnung des Polynoms

Block zur Berechnung der Interpolation


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Schreiben Sie die VHDL Architektur des Blocks, welcher den Wert des Interpolationspolynom bei jeder neuen Taktperiode berechnet.

Das Polynom wird iterativ berechnet.

Als Beispiel, für eine Funktion 1. Ordnung, y(x) = a·x + b, ist der nächste Wert gleich y(x+eps) = y(x) + a·eps. Die berechnet sich, indem anfangs u = a·eps, y(0) = b initialisiert wird, und indem y(i+1) = y(i) + u bei jeder Taktperiode neu berchenet wird.

Für eine Funktion 2. Ordnung, y(x) = a·x2 + b·x + c, ergibt sich y(x+eps) = y(x) + u(x), mit u(x) = 2·a·eps·x + (a·eps2 + b·eps). Der Zusatz u(x) berechnet sich mit der Methode, welche für eine Funktion 1. Ordnung vorgegeben wurde. Dies berechnet sich also mit v = 2·a·eps2, u(0) = a·eps2 + b·eps, y(0) = c bei der Initialisation und mit y(i+1) = y(i) + u(i) und u(i+1) = u(i) + v bei jeder neuen Taktperiode.

Die Berechnung der Funktion dritter Ordnung erfolgt ähnlich.

Für die digitale Berechnung wird eps als gleich einer negativen Potenz von 2 gewählt, was es erlaubt, Werte durch eine Verschiebung zu berechnen. Ebenso, um mit ganzen Zahlen zu verbleiben, wird man die Funktion y(i) mit einer Potenz von 2 multipliziert berechnen, und eine Abschlussverschiebung wird uns den Abtastwert des Polynoms geben.

Somit ist unser Algorithmus der folgende:

  • Bei der Ankunft eines neuen Abtastwertes werden die Initialwerte zur iterativen Bestimmung des Polynoms berechnet.
  • Zwischen zwei Abtastwerte wird die Berechnung der Polynomialfunktion mit Hilfe von Additionen durchgeführt, abhand der iterativen Gleichungen.

Die Initialwerte sind die folgende:

x = 2·d·2(3·m)

u = a + b·2m + c·2(2·m)

v = 6·a + 2·b·2m

w = 6·a

y = d

Die Iterativberechnung des Polynoms wird wie folgt durchgeführt:

x = x + u

u = u + v

v = v + w

y = x / (2·2(3·m))

Es ist offensichtlich, dass, wegen der Verschiebungen 2m, die Anzahl der Bits der internen Signale höher sein muss als die Anzahl der Bits der Eingangs- oder Ausgangswerte. Schätzen Sie die notwendige Grösse für diese Signale als Funktion der Verschiebung m = oversamplingBitNb. Geben Sie diesen Signalen 8 zusätzliche Bits, um sicherzustellen, dass kein Overflow auftreten wird.

Wiederum wird die Funktion resize hier von grossem Nutzen sein.

Simulation

View-pim-tasks.png

Kompilieren Sie und simulieren Sie den Block sineGen_tb neu. Prüfen Sie die Form des Sinuswelle nach Interpolation.


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Verkleinern Sie die Anzahl Bits der Signale in der Schaltung überall, wo es möglich ist, unter Beibehaltung der selben Sinuswelle nach Interpolation.


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