SEm/labore/02 interpolation

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== Einleitung ==
 
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[[Image:SEm_sineGen.png|Funktionsgenerator mit Berechnung des Sinus durch Interpolation]]
  
 
In diesem Labor werden wir verschiedene Operationen mit Zahlen durchführen.
 
In diesem Labor werden wir verschiedene Operationen mit Zahlen durchführen.
 
Dies am Beispiel der Interpolation der Punkte der Sinuskurve eines digitales Funktionsgenerator.
 
Dies am Beispiel der Interpolation der Punkte der Sinuskurve eines digitales Funktionsgenerator.
  
[[Image:SEm_sineGen.png|Funktionsgenerator mit Berechnung des Sinus durch Interpolation]]
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Die Berechnung der Interpolation basiert auf der Annäherung der Funktion zwischen 2 Punkten mit Polynomialfunktionen dritter Ordnung.
 
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Diese Methode gehört zur grossen Familie der ''Splines''.
Die Berechnung der Interpolation basiert auf der Annäherung der Funktion zwischen
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2 Pünkte mit Polynomialfunktionen dritter Ordnung. Diese Methode gehört der grossen
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Familie der "Splines".
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Die Schaltung befindet sich in der Library '''SineInterpolator''', die
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Testbank in der Library '''SineInterpolator_test'''.
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== Sägezahn ==
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Die Schaltung befindet sich in der Library '''SineInterpolator''', die Testbank in der Library '''SineInterpolator_test'''.
  
In dieser Schaltung ist die Anzahl Bits der Phase nicht gleich der Anzahl Bits der
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== Sägezahn ==
Funktionsgenerator-Ausgänge.
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Zur erstellung der Grundausgänge: Sägezahn, Viereck und Dreieck ändert der Block
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In dieser Schaltung ist die Anzahl Bits der Phase nicht gleich derjenigen der Funktionsgenerator-Ausgänge.
'''resizer''' die Anzahl Bits des Phasensignals und passt es den
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Ausgängssignalen an. Drei fälle sind zu betrachten:
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Pour la génération des signaux de base: dent de scie, carré et triangle, le bloc
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Wenn Ihr die Basisausgänge ''Sägezahn'', ''Viereck'' und ''Dreieck'' erstellt, ändert der Block '''resizer''' die Anzahl Bits des Phasensignals und passt es den Ausgängssignalen an. Dabei gibt es drei Fälle zu beachten:
'''resizer''' change la taille du signal de phase afin de l'adapter à celle des
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signaux de sortie. trois cas sont à prévoir:
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* Die Anzahl Bits der Ausgängen ist kleiner als die des Phasensignals: in diesem Fall werden die MSBs behalten.
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* Die Anzahl Bits der Ausgänge ist kleiner als die des Phasensignals: in diesem Fall werden die MSBs behalten.
* Die Anzahl Bits der Ausgängen ist gleich wie die des Phasensignals: in diesem Fall werden alle Bits übertagt.
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* Die Anzahl Bits der Ausgänge ist gleich wie die des Phasensignals: in diesem Fall werden alle Bits übertragen.
* Die Anzahl Bits der Ausgängen ist kleiner als die des Phasensignals: in diesem Fall wird der Phasensignal in den MSBs des Sägezahnsignals gelegt.
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* Die Anzahl Bits der Ausgänge ist kleiner als die des Phasensignals: in diesem Fall wird das Phasensignal in die MSBs des Sägezahnsignals gelegt.
  
 
=== VHDL Code ===
 
=== VHDL Code ===
  
Mit Hilfe des Konstruktes '''if … generate''', schreiben Sie den VHDL Code
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{{TaskBox|Mit Hilfe des Konstruktes '''if ... generate''', schreiben Sie den VHDL Code des '''resizer'''-Blocks.}}
des '''resizer'''-Blocks.
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=== Simulation ===
 
=== Simulation ===
  
Compilieren Sie und simulieren Sie den Block '''sineGen_tb'''. Ändern Sie
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{{TaskBox|Kompilieren und simulieren Sie den Block '''sineGen_tb'''.
die Anzahl Bits des Phasensignals und überprüfen Sie die Anpassung der Anzahl Bits in jedem
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Ändern Sie die Anzahl Bits des Phasensignals und überprüfen Sie die Anpassung der Anzahl Bits in jedem möglichen Operationsfall.}}
möglichen Operationsfall.
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== Sinustabelle ==
 
== Sinustabelle ==
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[[Image:SEm_sineTable.png|thumb|Sinustabelle]]
  
 
Die Interpolation wird durchgeführt abhand einer Tabelle, welche 8 Werte der
 
Die Interpolation wird durchgeführt abhand einer Tabelle, welche 8 Werte der
Sinusfunktion im ersten Viertel der Periode enthält. Um die Werte für die ganze Periode
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Sinusfunktion im ersten Viertel der Periode enthält. Um die Werte für die ganze Periode
anzuwenden, wird das Sägezahnsignal des Phasenzählers wie folgt angewandt:
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anzuwenden, wird das Sägezahnsignal des Phasenzählers wie folgt angewandt:
  
* Der MSB gibt an, ob das Vorzeichen zu ändern ist.
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* Der MSB gibt an, ob das Vorzeichen zu ändern ist.
* Der nächste Bit meldet, dass die Phase geändert sein soll, um die Tabelle in der umgekehrten Richtung zu lesen, dies für den zweiten und den vierten Viertel der Periode.
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* Der nächste Bit meldet, dass die Phase geändert sein soll, um die Tabelle in der umgekehrten Richtung zu lesen, dies für den zweiten und den vierten Viertel der Periode.
 
* Die 3 weitere Bits ('''tableAddressBitNb = 3''') sind als Adresse für das Lesen der Tabellenwerte angewandt.
 
* Die 3 weitere Bits ('''tableAddressBitNb = 3''') sind als Adresse für das Lesen der Tabellenwerte angewandt.
* Alle andere Bits werden vernachlässigt.
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* Alle andere Bits werden vernachlässigt.
 
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=== VHDL Code ===
 
=== VHDL Code ===
  
Schreiben Sie die VHDL Architektur des Sinuswellengenerators.
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Die Adresse der tabelle stammt aus den 3 Bits nach den 2 MSBs. Sie z&auml;hlt die
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Die Adresse der tabelle stammt aus den 3 Bits nach den 2 MSBs. Sie zählt die
 
Sequenz 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ....
 
Sequenz 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ....
  
Die SinusTabelle enth&auml;lt die Hexadezimalwerte 0000 oder 7FFF (abh&auml;ngend auf den zweiten
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Die SinusTabelle enthält die Hexadezimalwerte 0000 oder 7FFF (abhängend auf den zweiten
 
MSB), 18F9, 30FB, 471C, 5A82, 6A6D, 7641 und 7D89.
 
MSB), 18F9, 30FB, 471C, 5A82, 6A6D, 7641 und 7D89.
  
 
Wenn der MSB der Phase gleich '1' ist, so wird das Vorzeichen des Tabellenwertes
 
Wenn der MSB der Phase gleich '1' ist, so wird das Vorzeichen des Tabellenwertes
 
invertiert, um den Ausgang zu erzeugen.
 
invertiert, um den Ausgang zu erzeugen.
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=== Simulation ===
 
=== Simulation ===
  
Compilieren Sie und simulieren Sie den Block '''sineGen_tb'''. Prüfen Sie
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die Funktionalit&auml;t des Sinuswellensignalgenerators.
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die Funktionalität des Sinuswellensignalgenerators.}}
  
 
== Interpolation ==
 
== Interpolation ==
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''' y = a&middot;k^3 + b&middot;k^2 + c&middot;k +d'''
 
''' y = a&middot;k^3 + b&middot;k^2 + c&middot;k +d'''
  
W&auml;hrend dieser Berechnung wird der jeweilige Punkt der Tabelle mit
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Während dieser Berechnung wird der jeweilige Punkt der Tabelle mit
 
'''k = 0''' definiert, der vorige Punkt mit '''k = -1''' und der
 
'''k = 0''' definiert, der vorige Punkt mit '''k = -1''' und der
n&auml;chste mit '''k = 1''' definiert. Wir werden die Polynomialfunktion für
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nächste mit '''k = 1''' definiert. Wir werden die Polynomialfunktion für
 
'''n = 2^m''' Pünkte zwischen 0 und 1 berechnen.
 
'''n = 2^m''' Pünkte zwischen 0 und 1 berechnen.
  
Um die Kontinuit&auml;t der Kurve beim übergang vom Polynom des Segments
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Um die Kontinuität der Kurve beim übergang vom Polynom des Segments
 
'''-1 &lt; k &lt; 0''' und dem von '''0 &lt; k &lt; 1''',
 
'''-1 &lt; k &lt; 0''' und dem von '''0 &lt; k &lt; 1''',
 
spezifieren wir, dass die derivative am Punkt '''y(k=0)''' gleich der Steigung
 
spezifieren wir, dass die derivative am Punkt '''y(k=0)''' gleich der Steigung
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'''b''', '''c''' und '''d''' des Polynoms abhand der
 
'''b''', '''c''' und '''d''' des Polynoms abhand der
 
4 Pünkte '''y(k=-1)''' bis '''y(k=2)''' der zu interpolierende
 
4 Pünkte '''y(k=-1)''' bis '''y(k=2)''' der zu interpolierende
Kurve. Die Aufl&ouml;sung dieses Gleichungssystems gibt uns die folgenden Werte der
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Kurve. Die Auflösung dieses Gleichungssystems gibt uns die folgenden Werte der
 
Koeffizienten:
 
Koeffizienten:
  
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Um die Berechnungen zu vereinfachen werden wir den doppelten Wert der Koeffizienten
 
Um die Berechnungen zu vereinfachen werden wir den doppelten Wert der Koeffizienten
evaluieren und sp&auml;ter die berechnete Werte des Polynoms durch 2 teilen.
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evaluieren und später die berechnete Werte des Polynoms durch 2 teilen.
  
 
Beim Auftreten jedes neuen Werts des ursprünglichen Signals (hier die Sinustabelle),
 
Beim Auftreten jedes neuen Werts des ursprünglichen Signals (hier die Sinustabelle),
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=== Generator von Sequenzierungsimpulsen ===
 
=== Generator von Sequenzierungsimpulsen ===
 
Schreiben Sie die VHDL Architektur des Generators von Sequenzierungsimpulsen.
 
  
 
[[Image:SEm_interpolatorTrigger.png|thumb|Genrator von Sequenzierungsimpulsen]]
 
[[Image:SEm_interpolatorTrigger.png|thumb|Genrator von Sequenzierungsimpulsen]]
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{{TaskBox|Schreiben Sie die VHDL Architektur des Generators von Sequenzierungsimpulsen.}}
  
 
Diese Schaltung ermittelt einen Impuls mit der Dauer einer Taktperiode bei jedem
 
Diese Schaltung ermittelt einen Impuls mit der Dauer einer Taktperiode bei jedem
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=== Schieberegister ===
 
=== Schieberegister ===
 
Schreiben Sie die VHDL Architektur des Schieberegisters, welcher die 4 letzte
 
Pünkte der zu interpolendierenden Funktion speichert.
 
  
 
[[Image:SEm_interpolatorShiftRegister.png|thumb|Schieberegister]]
 
[[Image:SEm_interpolatorShiftRegister.png|thumb|Schieberegister]]
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{{TaskBox|Schreiben Sie die VHDL Architektur des Schieberegisters, welcher die 4 letzte
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Pünkte der zu interpolendierenden Funktion speichert.}}
  
 
Bei jedem Synchronisationsimplus '''shiftSamples''' speichert dis Schaltung
 
Bei jedem Synchronisationsimplus '''shiftSamples''' speichert dis Schaltung
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=== Berechnung der Koeffizienten ===
 
=== Berechnung der Koeffizienten ===
 
Schreiben Sie die VHDL Architektur des Blocks, welcher die Koeffizienten des Polynoms
 
berechnet als Funktion der 4 letzten Pünkten der zu interpolendierenden
 
Funktion.
 
  
 
[[Image:SEm_interpolatorCoefficients.png|thumb|Block zur Berechnung der Koeffizienten für die Interpolation]]
 
[[Image:SEm_interpolatorCoefficients.png|thumb|Block zur Berechnung der Koeffizienten für die Interpolation]]
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{{TaskBox|Schreiben Sie die VHDL Architektur des Blocks, welcher die Koeffizienten des Polynoms
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berechnet als Funktion der 4 letzten Pünkten der zu interpolendierenden
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Funktion.}}
  
 
Die Koeffiziente werden wie folgt berechnet:
 
Die Koeffiziente werden wie folgt berechnet:
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''' d = sample2'''
 
''' d = sample2'''
  
Erkl&auml;ren Sie die getroffene Wahl im Schema '''coeffBitNb :=
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{{TaskBox|{{TaskBox|Erklären Sie die getroffene Wahl im Schema '''coeffBitNb :=
signalBitNb+3'''.
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signalBitNb+3'''.}}
  
&Ouml;ffnen Sie die Library '''ieee.numeric_std''' und durchsuchen Sie die
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{{TaskBox|Öffnen Sie die Library '''ieee.numeric_std''' und durchsuchen Sie die
 
Auswirkung der Multiplikation eines Signals von Typ '''signed''' durch eine
 
Auswirkung der Multiplikation eines Signals von Typ '''signed''' durch eine
 
ganze Zahl. Prüfen Sie ebenfalls das Funktionieren der Funktion '''resize'''.
 
ganze Zahl. Prüfen Sie ebenfalls das Funktionieren der Funktion '''resize'''.
Sie ist hier sehr nützlich, um die Anzahl der Bits der Signale zu bestimmen.
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Sie ist hier sehr nützlich, um die Anzahl der Bits der Signale zu bestimmen.}}
  
 
=== Berechnung des Polynoms ===
 
=== Berechnung des Polynoms ===
 
Schreiben Sie die VHDL Architektur des Blocks, welcher den Wert des
 
Interpolationspolynom bei jeder neuen Taktperiode berechnet.
 
  
 
[[Image:SEm_interpolatorPolynom.png|thumb|Block zur Berechnung der Interpolation]]
 
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Interpolationspolynom bei jeder neuen Taktperiode berechnet.}}
  
 
Das Polynom wird iterativ berechnet.
 
Das Polynom wird iterativ berechnet.
  
 
Als Beispiel, für eine Funktion 1. Ordnung, '''y(x) = a&middot;x + b''', ist der
 
Als Beispiel, für eine Funktion 1. Ordnung, '''y(x) = a&middot;x + b''', ist der
n&auml;chste Wert gleich '''y(x+eps) = y(x) + a&middot;eps'''. Die berechnet sich, indem
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nächste Wert gleich '''y(x+eps) = y(x) + a&middot;eps'''. Die berechnet sich, indem
 
anfangs '''u = a&middot;eps''', '''y(0) = b''' initialisiert wird, und
 
anfangs '''u = a&middot;eps''', '''y(0) = b''' initialisiert wird, und
 
indem '''y(i+1) = y(i) + u''' bei jeder Taktperiode neu berchenet wird.
 
indem '''y(i+1) = y(i) + u''' bei jeder Taktperiode neu berchenet wird.
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neuen Taktperiode.
 
neuen Taktperiode.
  
Die Berechnung der Funktion dritter Ordnung erfolgt &auml;hnlich.
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Die Berechnung der Funktion dritter Ordnung erfolgt ähnlich.
  
 
Für die digitale Berechnung wird '''eps''' als gleich einer negativen
 
Für die digitale Berechnung wird '''eps''' als gleich einer negativen
Potenz von 2 gew&auml;hlt, was es erlaubt, Werte durch eine Verschiebung zu berechnen.
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Potenz von 2 gewählt, was es erlaubt, Werte durch eine Verschiebung zu berechnen.
 
Ebenso, um mit ganzen Zahlen zu verbleiben, wird man die Funktion '''y(i)'''
 
Ebenso, um mit ganzen Zahlen zu verbleiben, wird man die Funktion '''y(i)'''
 
mit einer Potenz von 2 multipliziert berechnen, und eine Abschlussverschiebung wird uns
 
mit einer Potenz von 2 multipliziert berechnen, und eine Abschlussverschiebung wird uns
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Es ist offensichtlich, das wegen der Verschiebungen '''2^m''', die Anzahl
 
Es ist offensichtlich, das wegen der Verschiebungen '''2^m''', die Anzahl
der Bits der internen Signale h&ouml;her sein muss als die Anzahl der Bits der Eingangs- oder
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der Bits der internen Signale höher sein muss als die Anzahl der Bits der Eingangs- oder
Ausgangswerte. Sch&auml;tzen Sie die notwendige Gr&ouml;sse für diese Signale als Funktion der
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Ausgangswerte. Schätzen Sie die notwendige Grösse für diese Signale als Funktion der
 
Verschiebung '''m = oversamplingBitNb'''. Geben Sie diesen Signalen
 
Verschiebung '''m = oversamplingBitNb'''. Geben Sie diesen Signalen
8 zus&auml;tzliche Bits, um sicherzustellen, dass kein Overflow vortauschen wird.
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8 zusätzliche Bits, um sicherzustellen, dass kein Overflow vortauschen wird.
  
 
Wiederum wird die Funktion '''resize''' hier von grosser Interesse
 
Wiederum wird die Funktion '''resize''' hier von grosser Interesse
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=== Simulation ===
 
=== Simulation ===
  
Compilieren Sie und simulieren Sie den Block '''sineGen_tb''' neu. Prüfen
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Sie die Form des Sinuswelle nach Interpolation.
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Sie die Form des Sinuswelle nach Interpolation.}}
  
Verkleinern Sie dia Anzahl Bits der Signale in der Schaltung überall, wo es m&ouml;glich
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{{TaskBox|Verkleinern Sie die Anzahl Bits der Signale in der Schaltung überall, wo es möglich
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[[Category:SEm]]
 
[[Category:SEm]]

Revision as of 12:27, 7 June 2013

Contents

Funktionsgenerator mit Interpolationsberechnung

Einleitung

Funktionsgenerator mit Berechnung des Sinus durch Interpolation

In diesem Labor werden wir verschiedene Operationen mit Zahlen durchführen. Dies am Beispiel der Interpolation der Punkte der Sinuskurve eines digitales Funktionsgenerator.

Die Berechnung der Interpolation basiert auf der Annäherung der Funktion zwischen 2 Punkten mit Polynomialfunktionen dritter Ordnung. Diese Methode gehört zur grossen Familie der Splines.

Die Schaltung befindet sich in der Library SineInterpolator, die Testbank in der Library SineInterpolator_test.

Sägezahn

In dieser Schaltung ist die Anzahl Bits der Phase nicht gleich derjenigen der Funktionsgenerator-Ausgänge.

Wenn Ihr die Basisausgänge Sägezahn, Viereck und Dreieck erstellt, ändert der Block resizer die Anzahl Bits des Phasensignals und passt es den Ausgängssignalen an. Dabei gibt es drei Fälle zu beachten:

  • Die Anzahl Bits der Ausgänge ist kleiner als die des Phasensignals: in diesem Fall werden die MSBs behalten.
  • Die Anzahl Bits der Ausgänge ist gleich wie die des Phasensignals: in diesem Fall werden alle Bits übertragen.
  • Die Anzahl Bits der Ausgänge ist kleiner als die des Phasensignals: in diesem Fall wird das Phasensignal in die MSBs des Sägezahnsignals gelegt.

VHDL Code

View-pim-tasks.png

ToDo some code

Simulation

View-pim-tasks.png

ToDo some code

Sinustabelle

Sinustabelle

Die Interpolation wird durchgeführt abhand einer Tabelle, welche 8 Werte der Sinusfunktion im ersten Viertel der Periode enthält. Um die Werte für die ganze Periode anzuwenden, wird das Sägezahnsignal des Phasenzählers wie folgt angewandt:

  • Der MSB gibt an, ob das Vorzeichen zu ändern ist.
  • Der nächste Bit meldet, dass die Phase geändert sein soll, um die Tabelle in der umgekehrten Richtung zu lesen, dies für den zweiten und den vierten Viertel der Periode.
  • Die 3 weitere Bits (tableAddressBitNb = 3) sind als Adresse für das Lesen der Tabellenwerte angewandt.
  • Alle andere Bits werden vernachlässigt.


VHDL Code

View-pim-tasks.png

ToDo some code

Die Adresse der tabelle stammt aus den 3 Bits nach den 2 MSBs. Sie zählt die Sequenz 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ....

Die SinusTabelle enthält die Hexadezimalwerte 0000 oder 7FFF (abhängend auf den zweiten MSB), 18F9, 30FB, 471C, 5A82, 6A6D, 7641 und 7D89.

Wenn der MSB der Phase gleich '1' ist, so wird das Vorzeichen des Tabellenwertes invertiert, um den Ausgang zu erzeugen.

Simulation

View-pim-tasks.png

ToDo some code

Interpolation

Die Interpolation wird gemacht, indem man eine verschiedene Polynomialfunktion 3. Ordnung zu jedem Intervall zwischen zwei Pünkte der Sinustabelle zuweist:

y = a·k^3 + b·k^2 + c·k +d

Während dieser Berechnung wird der jeweilige Punkt der Tabelle mit k = 0 definiert, der vorige Punkt mit k = -1 und der nächste mit k = 1 definiert. Wir werden die Polynomialfunktion für n = 2^m Pünkte zwischen 0 und 1 berechnen.

Um die Kontinuität der Kurve beim übergang vom Polynom des Segments -1 < k < 0 und dem von 0 < k < 1, spezifieren wir, dass die derivative am Punkt y(k=0) gleich der Steigung zwischen den Pünkten y(k=-1) und y(k=1)sein soll. Wir werden dasselbe für alle Pünkte der zu interpolierenden Funktion machen.

Das Segment 0 < k < 1 dient somit den 4 folgenden Bedingungen:

y(k=0) = y0: das Polynom geht über den Punkt (k=0, y=y0),

y(k=1) = y1: das Polynom geht über den Punkt (k=1, y=y1),

y'(k=0) = [y(k=1) - y(k=-1)] / 2: die Derivative am Punkt (k=0) ist die Steigung zwischen y(k=-1) und y(k=1),

y'(k=1) = [y(k=2) - y(k=0)] / 2: die Derivative am Punkt (k=1) ist die Steigung zwischen y(k=0) und y(k=2).

Diese 4 Bedingungen dienen zur Bestimmung des 4 Koeffizienten a, b, c und d des Polynoms abhand der 4 Pünkte y(k=-1) bis y(k=2) der zu interpolierende Kurve. Die Auflösung dieses Gleichungssystems gibt uns die folgenden Werte der Koeffizienten:

a = 1/2 [ - y(k=-1) +3·y(k=0) -3·y(k=1) + y(k=2) ]

b = 1/2 [ 2·y(k=-1) -5·y(k=0) +4·y(k=1) - y(k=2) ]

c = 1/2 [ - y(k=-1) + y(k=1) ]

d = y(k=0)

Um die Berechnungen zu vereinfachen werden wir den doppelten Wert der Koeffizienten evaluieren und später die berechnete Werte des Polynoms durch 2 teilen.

Beim Auftreten jedes neuen Werts des ursprünglichen Signals (hier die Sinustabelle), müssen die Ploynomkoeffiziente neu berechnet werden. Dann, in der Zwischenzeit, wird die Polynomilafunktion berechnet, um den jeweilgen Wert des Ausgangssignal zu bestimmen.

Generator von Sequenzierungsimpulsen

Genrator von Sequenzierungsimpulsen


View-pim-tasks.png

ToDo some code

Diese Schaltung ermittelt einen Impuls mit der Dauer einer Taktperiode bei jedem Polynomwechsel, das heisst zu jedem neuen Kurvensegment.

Dies erfolgt zu jeden 2^n Taktperioden wo en = '1', wobei n = sampleCountBitNb = phaseBitNb-2-tableAddressBitNb. In unserem Laborbeispiel sind phaseBitNb = 10 und sampleCountBitNb = 5.

Schieberegister

Schieberegister


View-pim-tasks.png

ToDo some code

Bei jedem Synchronisationsimplus shiftSamples speichert dis Schaltung den neuen Wert der zu interpolendierenden Funktion, sampleIn, und speichert es als letzes Abtastwert, sample4. Zugleich schiebt er den gespeicherten Wert von sample4 zurück in sample3, usw...

Berechnung der Koeffizienten

Block zur Berechnung der Koeffizienten für die Interpolation


View-pim-tasks.png

ToDo some code

Die Koeffiziente werden wie folgt berechnet:

a = - sample1 +3·sample2 -3·sample3 + sample4

b = 2·sample1 -5·sample2 +4·sample3 - sample4

c = - sample1 + sample3

d = sample2

{{TaskBox|

View-pim-tasks.png

ToDo some code


View-pim-tasks.png

ToDo some code

Berechnung des Polynoms

Block zur Berechnung der Interpolation


View-pim-tasks.png

ToDo some code

Das Polynom wird iterativ berechnet.

Als Beispiel, für eine Funktion 1. Ordnung, y(x) = a·x + b, ist der nächste Wert gleich y(x+eps) = y(x) + a·eps. Die berechnet sich, indem anfangs u = a·eps, y(0) = b initialisiert wird, und indem y(i+1) = y(i) + u bei jeder Taktperiode neu berchenet wird.

Für eine Funktion 2. Ordnung, y(x) = a·x^2 + b·x + c, ergibt sich y(x+eps) = y(x) + u(x), mit u(x) = 2·a·eps·x + (a·eps^2 + b·eps). Der zusatz u(x) berechnet sich mit der Methode, welche für eine Funktion 1. Ordnung vorgegeben wurde. Dies berechnet sich also mit v = 2·a·eps^2, u(0) = a·eps^2 + b·eps, y(0) = c zu initialisation und mit y(i+1) = y(i) + u(i) et u(i+1) = u(i) + v bei jeder neuen Taktperiode.

Die Berechnung der Funktion dritter Ordnung erfolgt ähnlich.

Für die digitale Berechnung wird eps als gleich einer negativen Potenz von 2 gewählt, was es erlaubt, Werte durch eine Verschiebung zu berechnen. Ebenso, um mit ganzen Zahlen zu verbleiben, wird man die Funktion y(i) mit einer Potenz von 2 multipliziert berechnen, und eine Abschlussverschiebung wird uns den Abtastwert des Polynoms geben.

Somit ist unser Algorithmus der folgende:

  • Bei der Ankunft eines neuen Abtastwertes werden die Initialwerte zur iterativen Bestimmung des Polynoms berechnet.
  • Zwischen zwei Abtastwerte wird die Berechnung der Polynomialfunktion mit Hilfe von Additionen durchgeführt, abhand der iterativen Gleichungen.

Die Initialwerte sind die folgende:

x = 2·d·2^(3·m)

u = a + b·2^m + c·2^(2·m)

v = 6·a + 2·b·2^m

w = 6·a

y = d

Die Iterativberechnung des Polynoms wird wie folgt durchgeführt:

x = x + u

u = u + v

v = v + w

y = x / 2·2^(3·m)

Es ist offensichtlich, das wegen der Verschiebungen 2^m, die Anzahl der Bits der internen Signale höher sein muss als die Anzahl der Bits der Eingangs- oder Ausgangswerte. Schätzen Sie die notwendige Grösse für diese Signale als Funktion der Verschiebung m = oversamplingBitNb. Geben Sie diesen Signalen 8 zusätzliche Bits, um sicherzustellen, dass kein Overflow vortauschen wird.

Wiederum wird die Funktion resize hier von grosser Interesse sein.

Simulation

View-pim-tasks.png

ToDo some code


View-pim-tasks.png

ToDo some code


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